Pitagoro teorema yra svarbi geometrijos taisyklė. Ji aiškinama, kaip stačiojo trikampio kraštinių ilgių santykis. Šią teoremą atrado senovės graikų matematikas Pitagoras. Pitagoro teorema yra naudingas matematikoje ir gyvenime.
Pitagoro Teoremos Istorija
Pitagoras gimė apie 570 m. pr. m. e. Samos saloje. Jo tėvas Mnesarchas buvo brangakmenių raižytojas. Vėliau jis įkūrė mokyklą Krotone, pietų Italijoje. Pitagoras tapo matematikos istorijos žvaigžde. Jo atradimas, vėliau pavadintas Pitagoro teorema, buvo svarbus.
Pitagoro darbai ir mokykla labai poveikiojo vėlesniems matematikams ir filosofams. Architas, Plato ir Euklidas buvo jo mokinių. Jo teorijos apie muziką iki XX a. Pitagoro teorema buvo žinoma senovės civilizacijose, kaip Egiptas, Babilonija ir Indija. Tai rodo jos svarbą matematikos istorijoje.
Matematikos istorija parodo, kad senovės civilizacijos susipažino su Pitagoro teorema. Kinų „Čžou-bi suan czi” traktate rašoma, kad XII a. pr. m. e. Egiptiečiai naudojo 3-4-5 trikampį, kurio matmenys atitiko Pitagoro teoremos sąlygas. Pitagoro teorema tapo esmine Euklido geometrijos dalimi. Ji turėjo didelę įtaką matematikos raidai.
Formulė ir Pagrindinės Sąvokos
Matematiniuose žodžiuose tai reiškia: a^2 + b^2 = c^2. Pitagoro teorema gali būti rašoma daugeliu būdų. Bet a^2 + b^2 = c^2 yra labiausiai paplitusi. Naudojant šias lygtynes, galima rasti nežinomus trikampio elementus. Stačiajame trikampyje statiniai (a ir b) yra kraštinės. Jie sudaro statų kampą.
Pitagoro Teoremos Įrodymai
Šiandien priimta manyti, kad Pitagoras pateikė pirmą jo vardu pavadintos teoremos įrodymą. Aš paminėsiu kelis klasikinius Pitagoro teoremos įrodymus, žinomus iš senovės traktatų. Tai padaryti naudinga dar iir todėl, kad šiuolaikiniuose vadovėliuose pateikiamas algebrinis teoremos įrodymas. Tačiau be pėdsakų dingsta pirminė geometrinė teoremos aura, prarandama ta Ariadnės gija, kuri vedė senovės išminčius į tiesą, o šis kelias beveik visada pasirodydavo besąs trumpiausias ir visuomet gražus.
Paprasčiausias Įrodymas
Paprasčiausias teoremos įrodymas gaunamas paprasčiausio lygiakraščio stačiojo trikampio atveju. Greičiausiai nuo jo ir prasidėjo teorema. Iš tikrųjų tereikia tik pažvelgti į lygiakraščių stačiųjų trikampių mozaiką, norint įsitikinti teoremos teisingumu. Pavyzdžiui, ABC: kvadratas, nubrėžtas ant įžambinės AC, susideda iš 4 pirminių trikampių, o kvadratai, nubrėžti ant statinių - iš 2.
Senovės Kinų Įrodymas
Matematiniai Senovės Kinijos traktatai iki mūsų atėjo II a.pr.m.e. redakcijoje. Reikalas tame, kad 213 m.pr.m.e. kinų imperatorius Ši Chuan-di, siekdamas išnaikinti ankstesnes tradicijas, paliepė sudeginti visas senovines knygas. II a.pr.m.e. Kinijoje buvo išrastas popierius ir tuo pat metu prasidėjo knygų atkūrimas. Taip atsirado “Matematika devyniose knygose” - svarbiausias iš matematinių-astronominių veikalų. brėžinys, įrodantis Pitagoro teoremą. Raktą įrodymui parinkti nesunku.
Iš tikrųjų, senovės kiniečių brėžinyje keturi lygūs statieji trikampiai su statiniais a, b ir įžambine c sudėti taip, kad jų išorinis kontūras sudaro kvadratą su kraštine a+b, o vidinis - kvadratą su kraštine c, nubrėžtą ant įžambinių. Kvadratą su kraštine c išpjovus ir likusius 4 trikampius sudėjus į du stačiakampius aišku, kad susidariusi tuštuma, iš vienos pusės, lygi c2, iš kitos, a2+b2, t.y. c2=a2+b2. Teorema įrodyta.
Senovės Indų Įrodymas
Senovės Indijos matematikai pastebėjo, kad Pitagoro teoremos įrodymui užtenka panaudoti vidinę senovės kinų brėžinio dalį. Ant palmių lapų parašytame žymiausio XII a. indų matematiko Bhaskaro traktate “Sidhanta širomani” (“Žinių vainikas”) yra brėžinys su būdingu indiškiems įrodymams žodžiu “Žiūrėk!”. Kaip matyti, statieji trikampiai čia sudėti įžambinėmis išorėn, o kvadratas c2 perkeliamas į “nuotakos sostą” a2-b2.
Euklido Įrodymas
Euklido įrodymas pateiktas pirmosios “Pradų” knygos 47-ajame teiginyje. Ant stačiojo trikampio ABC įžambinės ir kraštinių brėžiami atitinkami kvadratai ir įrodoma, kad stačiakampis BJLD lygus kvadratui ABFH, o stačiakampis ICEL - kvadratui ACKG. TTada statinių kvadratų suma bus lygi įžambinės kvadrato sumai.
Iš tikrųjų, nuspalvinti trikampiai ABD ir BFC lygūs pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų: FB=AB, BC=BD, o FBC=d+ABC=ABD. Bet SABD=1/2SBJLD, kadangi ABD ir stačiakampis BJLD turi bendrą pagrindą BD ir bendrą aukštį LD. Analogiškai SFBC=1/2SABFH, (BF - bendras pagrindas, AB - bendras aukštis). Iš čia, turint omeny, kad SABD=SFBC, turime, kad SBJLD=SABFH. Analogiškai, panaudojant BCK ir ACE lygybę, įrodoma, kad SJCEL=SACKG. Taigi, SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL=SBCED, ką ir reikėjo įrodyti.
Atvirkštinė Pitagoro Teorema
Pitagoro teorema yra žinoma visiems. Tačiau daugelis nežino apie jos atvirkštą. Ši atvirkštė sako, kad jei trikampio ilgiausio krašto kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, tai trikampis yra statusis. Jei a^2 + b^2 < c^2, tai jis yra bukas. O jei a^2 + b^2 = c^2, tai trikampis yra statusis.
Atvirkštinė Pitagoro teorema naudojama dažnai. Ji padeda patikrinti, ar konstrukcijos ar matavimai yra tikrai statusi. Atvirkštinė Pitagoro teorema yra svarbi trikampių klasifikacijai. Ji leidžia greitai nustatyti trikampio tipą.
Pitagoro Teoremos Taikymas
Pitagoro teorema yra svarbi ne tik geometrijai. Architektai naudoja šią teoremą, kad apskaičiuotų pastato konstrukcijas. Inžinieriai naudoja ją, kad apskaičiuotų atstumus ir kampus. Matavimo technologijose, teorema leidžia tiksliai nustatyti atstumus ir kampus. Taip pat ji naudojama kompiuterinėje grafikoje, kartografijoje ir kitose sferose.
Senovės kultūros, kaip Egiptas, Babilonija ir Kinija, ją naudojo. Tai rodo jos svarbą matematikos istorijoje. Pitagoro teorema yra viena iš seniausių matematikos teoremų. Ji buvo suformuluota Pitagoro daugiau nei 2500 metų atgal.
Pavyzdžiai ir Uždaviniai
1 pavyzdys
Stačiojo trikampio statinių ilgiai 6 ir 8. Kokio ilgio yra trikampio įžambinė?
Ats.: 10
2 pavyzdys
Kuris trikampis yra statusis? Trikampių kraštinių ilgiai yra:
a. 8; 24; 26
b. 7; 24; 26
c. 7; 24; 25
d. 7; 25; 25
Ats.: c
3 pavyzdys
Lygiakraščio trikampio aukštinės ilgis lygus 23√. Apskaičiuokite trikampio kraštinės ilgį.
Ats.: 2√69/3
žymės: #Gimimo
Panašus:
- Vaikų auklėjimas pagal prancūzus: knygos apžvalga ir pagrindiniai principai
- Kaip rengti kūdikį pagal orą: patarimai, sluoksniavimas, ką vengti
- Vaiko raida pagal mėnesius: etapai, patarimai ir ką žinoti tėvams
- Neįtikėtini Žaislų Rinkiniai Vaikams: Atraskite Tobulą Pasirinkimą Jūsų Mažyliui!
- Atraskite Tobulą Stanginimosi Techniką Gimdymo Metu – Patarimai, Kurie Palengvins Jūsų Patirtį